1/1. feladat: Legyen $ABC$ egy hegyesszögű háromszög, melyben $AB\ne BC$, legyen $N$ a háromszög $B$-hez tartozó súlyvonalának és a körülírt körének második metszéspontja. Legyen $H$ az $ABC$ háromszög magasságpontja és $D$ az a pont a körülírt körön, melyre $BDH\angle=90^\circ$. Jelölje továbbá $K$ azt a pontot, melyre $ACNK$ négyszög paralelogramma. Igazold, hogy $AC$, $KH$ és $BD$ egyenesek egy ponton haladnak át.
1/2. feladat:
a) Igazoljuk, hogy létezik olyan $(X,Y,Z)$ egész számokból álló számhármas a $(0,0,0)$-n kívül, melyekre $|X|, |Y|, |Z|\le 10^6$, és amelyekre $|X+Y\sqrt2+Z\sqrt3|<10^{-11}$.
b) Lássuk be, hogy olyan $(X,Y,Z)$ számhármas is létezik, amelyre a fentin túl még $XYZ\ne 0$ is teljesül.
c) Igazoljuk, hogy olyan egész számokból álló $(X,Y,Z)$ számhármas nincs a $(0,0,0)$-n kívül, melyre $|X|, |Y|, |Z|\le 10^6$, és amire $|X+Y\sqrt2+Z\sqrt3|<10^{-21}$.
1/3. feladat: Határozzuk meg a $\lambda$ valós szám minimumát, melyre teljesül, hogy minden $T$ területű konvex 2018-szög lefedhető egy $\lambda T$ területű paralelogrammával.
1/4. feladat:
Legyen $n>1$ egész. Egy bábuval lépkedünk egy körsétán egy $n\times n$-es sakktáblán úgy, hogy egy lépésben egy oldalszomszédos mezőre lépünk, és a táblán minden mezőt pontosan egyszer érintünk a kezdőmezőre való visszaérkezésig (ahonnan megismételhetnénk a körsétát). Mutassuk meg, hogy létezik a sakktáblán két szomszédos mező, $A$ és $B$ úgy, hogy a körséta egymást követő lépéseit követve $A$-ból $B$-be, illetve $B$-ből $A$-ba is legalább $\frac{n^2}4$ lépést teszünk meg.
Megjegyzés: a körséta kezdőmezőjére visszatérő lépést a körséta első lépése követi a sorrend szerint.