1. válogató
(több helyszínen, 2016.11.25. 14:15-18:45)

1/1. feladat: Az $A$, $B$, $C$ pontok által meghatározott hegyesszögű háromszögben az egyes csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait jelölje rendre $T_A$, $T_B$ és $T_C$. A $T_AT_BT_C$ háromszög oldalfelező pontjai legyenek $F_A$, $F_B$ és $F_C$ rendre a $T_BT_C$, $T_AT_C$ és $T_AT_B$ oldalakon. Igazoljuk, hogy az $F_AF_B$, $F_CF_A$ és $F_BF_C$ egyeneseken az $ABC$ háromszög által kimetszett szakaszok egyenlő nagyságúak.

1/2. feladat: 2016 rabló együtt elrabolt egy nagy kincsesládát és el akarják ásni. Mivel nem bíznak egymásban, úgy döntenek, hogy szerelnek rá lakatokat, és a lakatokhoz való kulcsokat szétosztják egymás között. (Egy lakathoz több kulcs is tartozhat, de egy kulcs csak egy lakatot nyit.) Úgy szeretnék ezt megtenni, hogy közülük bármely 1010 ki tudja nyitni a kincset, de ezt semelyik 2 ne tudja megtenni. Legalább hány lakatra van szükség?

1/3. feladat: Az $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egész számokra $$ac=\frac12bd$$ $$a-d=b-c$$ egyenlőségek teljesülnek. Tegyük fel, hogy $a\ge c$. Mi a legnagyobb $\lambda$ valós szám, melyre az $a\ge \lambda c$ feltételt kielégíti az egyenletrendszer minden egész $a$, $b$, $c$, $d$ megoldása?

1/4. feladat: Legyenek a $p_1$, $p_2$, $p_3$, ... számok a pozitív egész számoknak egy permutációja. Igazoljuk, hogy végtelen sok $n$-re fog teljesülni, hogy $p_n$ és $p_{n+1}$ legnagyobb közös osztója nem nagyobb, mint $\frac34n$.

2. válogató
(Budapest, 2017.03.07. 10:00-14:00)

2/1. feladat: Határozzuk meg azon $n$ pozitív egészeket, amelyeknek összes pozitív osztója elrendezhető egy téglalap alakú táblázatban úgy, hogy

• a táblázat minden mezőjébe különböző osztó kerül;
• minden sorban ugyanannyi a számok összege;
• minden oszlopban ugyanannyi a számok összege.

(IMO 2016 Shortlist, C2. feladat)

2/2. feladat: A pozitív egész $k$ szám jegyeinek összege legyen $S(k)$. Határozzuk meg az összes olyan egész együtthatós $P(x)$ polinomot, amelyre minden $n>2017$ esetén $P(n)>0$ és $S(P(n))=P(S(n))$.

(IMO 2016 Shortlist, N1. feladat)

2/3. feladat: Az $ABC$ háromszögben $AB=AC\ne BC$, jelölje a beírt kör középpontját $I$. A $BI$ egyenes $AC$-t $D$-ben metszi. A $D$-n áthaladó $AC$-re merőleges egyenes $AI$-t $E$-ben metszi. Igazoljuk, hogy $I$ tükörképe az $AC$ egyenesre rajta van a $BDE$ háromszög köré írt körön.

(IMO 2016 Shortlist, G4. feladat)

3. válogató
(Kecskemét, 2017.04.21. 11:00-15:30)

3/1. feladat: Határozzuk meg azt a legkisebb valós $C$ konstanst, amire teljesül az, hogy tetszőleges $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ (nem feltétlenül különböző) pozitív valós számok esetén találhatók páronként különböző $i$, $j$, $k$, $l$ számok, amelyekkel $$\left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\le C$$ teljesül.

(IMO 2016 Shortlist, A2. feladat)

3/2. feladat: Legyen $I$ a nem-egyenlőszárú $ABC$ háromszög beírt körének a középpontja, $I_A$ az $A$-val szemközti oldal hozzáírt körének a középpontja, $I'_A$ $I_A$ tükörképe a $BC$ egyenesre, $\ell_A$ pedig az $AI'_A$ egyenes tükörképe az $AI$ egyenesre. Hasonlóan definiáljuk az $I_B$, $I'_B$ pontokat és az $\ell_B$ egyenest. Legyen $\ell_A$ és $\ell_B$ metszéspontja $P$. Bizonyítsuk be, hogy $P$ az $OI$ egyenesen fekszik, ahol $O$ jelöli az $ABC$ háromszög körülírt körének a középpontját.

(IMO 2016 Shortlist, G7/a feladat)

3/3. feladat: Legyen $n$ pozitív egész szám. Határozzuk meg a legkisebb pozitív egész $k$ számot, amire teljesül a következő: meg lehet jelölni egy $2n \times 2n$-es táblázat $k$ mezőjét úgy, hogy pontosan egyféleképpen lehet a táblázatot $1\times 2$-es és $2\times 1$-es dominókkal (hézagmentesen és átfedés nélkül) lefedni úgy, hogy egyetlen dominó se tartalmazzon két megjelölt mezőt.

(IMO 2016 Shortlist, C8. feladat)

4. válogató
(Kecskemét, 2017.04.22. 8:00-12:30)

4/1. feladat: Legyen $n$ egy 6-hoz relatív prím pozitív egész szám. Egy szabályos $n$-szög csúcsait három színnel színezzük úgy, hogy mindegyik színű csúcsból páratlan sok van. Bizonyítsuk be, hogy a csúcsokból alkotott háromszögek között van olyan, amelyik egyenlőszárú és a három csúcsa három különböző színnel van színezve.

(IMO 2016 Shortlist, C3. feladat)

4/2. feladat:
a) Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész $n$ számhoz van olyan $\frac{a}{b}$ tört, amelyikre $a$ és $b$ olyan egész számok, melyekre teljesül $0< b\le \sqrt{n}+1$ és $\sqrt{n}\le \frac{a}{b}\le \sqrt{n+1}$.
b) Bizonyítsuk be, hogy létezik végtelen sok pozitív egész $n$ szám, amihez nincs olyan $\frac{a}{b}$ tört, amelyikre $a$ és $b$ olyan egész számok, melyekre teljesül $0< b\le\sqrt{n}$ és $\sqrt{n}\le\frac{a}{b}\le\sqrt{n+1}$.

(IMO 2016 Shortlist, A5. feladat)

4/3. feladat:
Jelölje $\mathbb{N}$ a pozitív egész számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ függvényt, amire teljesül az, hogy minden $m$,$n$ pozitív egészre $f(m)+f(n)-mn$ nem nulla és osztója $(mf(m)+nf(n))$-nek.

(IMO 2016 Shortlist, N6. feladat)